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공업수학 Express (개정판)

공업수학 Express (개정판)

  • 김동식
  • |
  • 생능
  • |
  • 2011-07-21 출간
  • |
  • 780페이지
  • |
  • 188 X 254 X 40 mm
  • |
  • ISBN 9788970507064
★★★★★ 평점(10/10) | 리뷰(1)
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출판사서평




“공업수학이 어렵다고?”

고등학교 때 수학 하면 그렇게 재미있어 하던 학생이 대학에 들어와 공업수학을 대하고 나서는 고개를 저어버린다. “공업수학이 너무 어려워요?” 공업수학이 어렵다고. 왜 그럴까? 아마도 ‘왜 그렇게 되었을까?’라는 설명은 간 곳 없고 복잡한 공식만이 전개되어 있기 때문이 아닐까?

‘학생들의 눈높이에 맞춘 공업수학’

지금까지 출간된 공업수학 책들은 내용이 너무 방대하거나 어려운 것이 사실이다. 극소수의 학생들을 제외하고는 공업수학을 좋아하는 학생들이 드물었기에 무엇보다도 학생들의 흥미를 유발하는 것이 필요하였다.
좋은 교육용 콘텐츠를 LCD 프로젝터를 이용하여 강의하는 것이 최근 추세임에도 불구하고, 필자가 매학기 양복 소매에 분필가루를 묻혀가며 판서를 고집해 온 것도 학생들이 공업수학을 재미있는 과목이라고 느낄 수 있도록 어려운 내용을 최대한 쉽게 설명하기 위한 눈물겨운 노력의 일환이었다. 재미가 없고 딱딱한 공업수학을 쉽게 가르치는 방법에 대하여 많은 고민을 하면서 깨달은 것은, 무엇보다도 내용이 이해하기 쉽게 서술되어야 한다는 것이었다. 이에 따라 아주 쉬우면서 필수적인 내용을 담은 공업수학을 집필하고 싶은 욕심이 생기게 되었으며, 이것이 이 책을 쓰게 된 동기이다.
따라서 이 책은 공업수학에서 반드시 다루어야 할 중요한 주제만을 엄선하였으며, 학생들의 눈높이에 맞추어서 내용과 연관된 수학적인 개념을 삽화 형식으로 재구성하여 최대한 쉽게 서술하려고 노력하였다.

이 책의 특징
이 책은 공업수학의 방대한 내용 중에서 반드시 다루어야 할 중요한 주제만을 엄선하였다. 보통 2학기 정도의 시간이 공업수학 과목에 할당되는 현실에서 무작정 많은 내용을 포함시켜 정작 중요한 부분은 배우지 못하는 것보다는, 꼭 필요한 내용만을 학습하여 이해도를 극대화하는 것이 더 효율적이라는 생각을 하였기 때문이다.
이 책의 주요 특징을 나열하면 다음과 같다.

첫째, 교재의 내용과 예제풀이 과정에서 ‘여기서 잠깐!’이라는 코너를 통해, 다른 교재를 찾아보지 않더라도 이미 학습한 내용을 쉽게 확인할 수 있도록 하였다.
둘째, 각 장을 시작하면서 어떤 내용을 학습하는지, 왜 배워야만 하는지에 대한 개요를 설명함으로써 학생들로 하여금 각 장의 내용을 전반적으로 이해할 수 있도록 하였다.
셋째, 각 장의 중간 중간에 중요한 수학적인 개념이나 풀이과정, 연관된 내용 간의 상관관계 등을 도표나 삽화 형식으로 재구성함으로써 학습내용을 일목요연하게 정리하여 공업수학에 대한 이해도를 극대화하고자 하였다.
넷째, 각 장의 끝에는 재미있는 수학에 대한 내용이나 수학적인 사고가 필요한 퀴즈를 수록하여 학생들이 수학에 대한 흥미를 가질 수 있도록 하였다.
다섯째, 부록에는 각 장에 제시된 모든 연습문제의 정답을 수록하여, 학생들이 연습문제를 푼 다음 정답과 비교해볼 수 있도록 하였다.

이 책의 내용
먼저, 1장 ‘1차 미분방정식’에서는 가장 간단한 형태인 변수분리형으로부터 시작하여 동차 미분방정식, 완전 미분방정식에 대해 다룬다. 특히 선형 1차 미분방정식의 일반적인 해법에 대해서도 다루며, 복잡한 형태이기는 하지만 적절한 치환에 의해 간단한 형태로 변환되는 경우도 학습한다. 2장 ‘2차 선형미분방정식’에서는 2차 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해 학습하는데, 특히 상수계수를 가지는 미분방정식의 해법은 고차 미분방정식의 해를 구하는 데 기초가 되는 매우 중요한 내용이므로 충분한 이해가 필요하다. 상수계수를 가지는 2차 미분방정식의 해는 특성 방정식을 통해 체계적으로 구할 수 있으며, 일반 대수방정식의 해법에 비해 특별히 어렵다고는 할 수 없으니 자신감을 가지고 학습하는 것이 필요하다. 3장 ‘고차 선형미분방정식’에서는 2장에서 학습한 2차 선형미분방정식의 해법을 확장하여 고차 선형미분방정식의 해를 구하는 방법에 대해 학습한다. 차수가 높다고 해서 그 해석방법이 특별히 어렵거나 복잡하지 않으며, 새로운 해석기법을 도입하여 해를 구하지도 않는다. 특히 이 장에서는 외부에서 강제되는 강제함수가 정현파(사인이나 코사인함수)인 경우에만 적용할 수 있는 복소지수함수를 이용하여 특수해를 구하는 해석법과 복수 개의 미분방정식으로 구성되는 연립미분방정식의 해법을 소개한다.
4장 ‘Laplace 변환’에서는 시간영역의 함수를 주파수영역의 함수로 변환시킴으로써 시간영역에서 주어진 복잡한 공학문제들을 주파수영역에서의 단순한 문제들로 변형시켜 해결하는 Laplace 변환에 대해 학습한다. Laplace 변환을 이용하면 선형미분방정식은 물론 선형연립미분방정식의 해도 간단한 대수방정식의 해를 구함으로써 쉽게 구할 수 있다. 더욱이 합성곱이라는 시간영역에서의 복잡한 연산도 Laplace 변환과 역변환을 이용하여 쉽게 계산할 수 있다는 사실은 Laplace 변환이 얼마나 강력한 수학적인 도구인가를 알 수 있게 해준다. 5장 ‘벡터와 공간직교좌표계’에서는 어떤 물리적인 현상이나 공학적인 표현을 간결하고 함축적으로 표현하기 위해 벡터와 행렬을 많이 이용하게 된다. 특히 전기자기학의 대부분의 수식표현은 벡터로 이루어져 있어 벡터에 대한 기초지식과 응용지식이 없이는 전체적인 내용을 파악하기 어려울 정도이다. 이 장에서는 위치벡터를 도입하여 이를 수학적으로 표현하고 벡터 간의 기본 연산인 벡터 덧셈과 스칼라 곱에 대해 다룬다. 또한 벡터 간의 곱셈에 해당되는 두 가지 연산, 즉 내적과 외적을 정의하여 이를 실제 문제에 활용해본다. 더욱이 벡터를 수학적으로 표현하기 위해 주로 많이 사용되는 3차원 공간직교좌표계에 대해 설명하고 각 좌표계 사이의 변환관계에 대하여 학습한다. 마지막으로 평면벡터와 공간벡터의 개념을 추상화하여 확장시킨 벡터공간과 기저벡터, 차원 등을 다룬다.
6장 ‘행렬과 선형연립방정식’에서는 행렬과 행렬식을 정의하고, 행렬을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구하는 방법에 대해 다룬다. 선형연립방정식은 많은 공학문제에서 흔히 접하기 때문에 빠르고 정확하게 해를 구하는 방법을 충분히 숙지해야 한다. Gauss 소거법과 역행렬을 도입하여 선형연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 행렬식을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구하는 Cramer 공식에 대해서도 학습한다. 또한 선형시스템이나 제어시스템의 해석에 있어 매우 중요한 행렬의 고윳값 문제와 행렬의 대각화 기법에 대해 다룬다. 7장 ‘벡터 미적분법’에서는 위치와 시간에 따라 변화하는 벡터함수의 형태로 나타나는 벡터에 대한 미분과 적분법을 다룬다. 벡터장의 발산과 회전, 스칼라장의 기울기 등은 많은 공학 문제에서 매우 중요하게 다루어지는 개념이다. 벡터적분에서는 3차원 공간에서의 곡선과 곡면에 대한 적분을 일반화하여 얻어지는 Green 정리, 발산 정리, Stokes의 정리 등에 대하여 다룬다. 또한 미적분학에서 다루었던 다중적분과 변수변환을 통한 다중적분의 계산법에 대해서도 벡터적분법에 대한 예비지식으로서 소개한다. 8장 ‘Fourier 급수’에서는 주기함수를 주파수가 다른 사인과 코사인 함수의 무한급수 형태로 표현하는 방법에 대해 학습한다. 주어진 주기함수가 우함수 또는 기함수인 경우 나타나는 Fourier 사인 및 코사인 급수에 대해서도 학습한다. 또한 주기함수가 아닌 비주기함수에 대해 반구간 전개라는 방법을 통해 특정구간에서의 Fourier 급수로 표현하는 것을 다룬다. 마지막으로, Fourier 급수의 복소수 형태에 대해 학습함으로써 복소 Fourier 계수를 결정하는 공식을 유도할 수 있다.
9장 ‘Fourier 적분과 변환’에서는 실제 문제에서 많이 나타나는 비주기 함수에 대해 Fourier 급수의 방법을 일반화하여 얻어진 Fourier 적분에 대해 학습한다. Fourier 급수의 복소수 형태를 일반화한 Fourier 변환의 정의 및 여러 가지 중요한 성질에 대해서도 다룬다. 또한 Laplace 변환과 Fourier 변환의 유사성에 대해 학습하면서 Fourier 변환이 Laplace 변환의 특별한 경우라는 것에 대해 고찰한다. 10장 ‘복소수와 복소해석함수’에서는 공학의 여러 분야에서 문제를 쉽게 해결하는 데 강력한 도구를 제공하는 복소변수함수에 대해 다룬다. 특히 복소해석에 있어 주요한 관심 대상이 되는 복소해석함수를 정의하고, 실함수에서 다루었던 극한과 연속성, 미분가능성에 대한 개념을 복소변수함수로 확장하여 Cauchy-Riemann 방정식을 유도할 수 있다. 또한 실변수 함수에서 학습한 지수함수와 로그함수를 확장한 복소지수함수와 복소로그함수, 복소삼각함수, 복소쌍곡선함수 등의 여러 가지 성질에 대하여 고찰한다. 복소함수해석과 실함수해석 사이에는 많은 유사성이 있지만, 흥미로운 많은 차이점이 있다는 것에 대해서도 체계적으로 다룬다. 11장 ‘복소적분법’에서는 복소해석학에서 가장 기본이 되면서도 중요한 Cauchy의 적분정리에 대해 다룬다. 또한 Cauchy 적분정리의 중요한 결과로서 Cauchy 적분공식을 유도하고, 이를 확장하여 해석함수의 n차 도함수의 존재에 대해 학습한다. 실함수에 대한 Taylor 급수의 개념을 복소해석함수로 확장하여 복소 Taylor 급수와 Laurent 급수에 대해서도 살펴보고 유수(Residue)의 개념을 도입한다. 마지막으로, 유수정리를 이용하여 일반적인 복소선적분을 계산할 수 있는 유수적분법에 대하여 다루고, 이를 실함수의 복잡한 적분을 해결하는 데 활용할 수 있다는 것에 대해 학습한다.


목차


PART 01 상미분방정식
CHAPTER 01 1차 미분방정식
1.1 기본적인 정의와 용어
(1) 형태에 따른 분류
(2) 차수에 따른 분류
(3) 선형 또는 비선형에 따른 분류
1.2 미분방정식의 해
1.3 변수분리형 방정식
1.4 동차 미분방정식
1.5 완전 미분방정식
1.6 선형 미분방정식
1.7 치환법에 의한 미분방정식 해법
■연습문제
CHAPTER 02 2차 선형미분방정식
2.1 2차 선형미분방정식의 해
(1) 제차미분방정식의 선형성
(2) 제차미분방정식의 일반해
2.2 상수계수를 가지는 2차 제차미분방정식
(1) 특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우
(2) 특성방정식이 중근을 가지는 경우
(3) 특성방정식이 복소근을 가지는 경우
2.3 오일러-코시 방정식
(1) 서로 다른 두 실근을 가지는 경우
(2) 중근을 가지는 경우
(3) 공액복소근을 가지는 경우
2.4 2차 비제차미분방정식
2.5 미정계수법
2.6 매개변수변환법
2.7 초기치 문제
■연습문제
CHAPTER 03 고차 선형미분방정식
3.1 고차 선형미분방정식의 해
3.2 상수계수를 가지는 고차 제차미분방정식
(1) 서로 다른 실근
(2) 단순 복소근
(3) 다중 실근
3.3 고차 오일러-코시 방정식
3.4 고차 비제차미분방정식
3.5 매개변수변환법의 일반화
3.6 복소지수함수를 이용한 특수해
3.7 연립미분방정식
■연습문제
CHAPTER 04 Laplace 변환
4.1 Laplace 변환의 정의
4.2 Laplace 역변환과 부분분수
4.3 이동정리
(1) 제1이동정리
(2) 제2이동정리
4.4 미분과 적분의 Laplace 변환
(1) 도함수의 Laplace 변환
(2) 적분의 Laplace 변환
4.5 Laplace 변환의 미분과 적분
(1) Laplace 변환의 미분
(2) Laplace 변환의 적분
4.6 선형미분방정식의 해법
4.7 합성곱 이론
4.8 주기함수의 Laplace 변환
4.9 선형연립미분방정식의 해법
■연습문제

PART 02 선형대수학
CHAPTER 05 벡터와 공간직교좌표계
5.1 벡터와 스칼라
5.2 벡터의 가감산 및 스칼라 곱
5.3 벡터의 내적 및 외적
5.4 3차원 공간에서의 직선과 평면
(1) 직선의 벡터방정식
(2) 평면의 벡터방정식
5.5 3차원 공간직교좌표계
(1) 직각좌표계
(2) 원통좌표계
(3) 구좌표계
5.6 벡터공간의 기초개념
■연습문제
CHAPTER 06 행렬과 선형연립방정식
6.1 행렬의 정의와 기본 연산
6.2 특수행렬
(1) 전치행렬
(2) 대칭행렬과 교대행렬
(3) 삼각행렬
6.3 기본 행연산
6.4 행렬식과 역행렬
(1) 행렬식의 정의와 계산
(2) 행렬식의 성질
(3) 역행렬의 정의와 성질
(4) 공식에 의한 역행렬 계산
(5) Gauss-Jordan 소거법에 의한 역행렬 계산
6.5 선형연립방정식의 해법
(1) 역행렬에 의한 선형연립방정식의 해
(2) Cramer 공식
6.6 고윳값과 고유벡터
6.7 행렬의 대각화
■연습문제
CHAPTER 07 벡터 미적분법
7.1 벡터장과 스칼라장
(1) 벡터함수의 극한과 연속
(2) 벡터함수의 미분과 적분
7.2 곡선과 곡면의 벡터함수
(1) 곡선의 벡터함수
(2) 곡면의 벡터함수
7.3 방향 도함수와 스칼라장의 기울기
7.4 벡터장의 발산과 회전
7.5 선적분
7.6 이중적분의 계산
7.7 평면에서의 Green 정리
7.8 삼중적분의 계산
7.9 면적분
7.10 발산정리와 Stokes 정리
(1) 발산정리
(2) Stokes 정리
■연습문제

PART 03 Fourier 해석
CHAPTER 08 Fourier 급수
8.1 주기함수
8.2 주기가 2r인 주기함수의 Fourier 급수
8.3 임의의 주기함수에 대한 Fourier 급수
8.4 우함수와 기함수
8.5 Fourier 사인 및 코사인 급수
8.6 반구간 전개
8.7 복소수형 Fourier 급수
■연습문제
CHAPTER 09 Fourier 적분과 변환
9.1 실수형 Fourier 적분
9.2 Fourier 사인 및 코사인 적분
9.3 복소수형 Fourier 적분
9.4 Fourier 변환
9.5 Fourier 변환의 성질
(1) 선형성
(2) 시간 스케일링
(3) 제1이동정리
(4) 제2이동정리
(5) 도함수의 Fourier 변환
(6) 쌍대성
(7) d(x)의 Fourier 변환
(8) 합성곱의 Fourier 변환
9.6 Fourier 사인 및 코사인 변환
9.7 Laplace 변환과의 상관관계
■연습문제 582

PART 04 복소해석학
CHAPTER 10 복소수와 복소해석함수
10.1 복소수와 복소평면
10.2 복소수의 극형식과 거듭제곱근
10.3 복소변수함수의 해석성
10.4 Cauchy-Riemann 방정식
10.5 지수함수와 로그함수
(1) 복소지수함수
(2) 복소로그함수
10.6 삼각함수와 쌍곡선함수
(1) 복소삼각함수
(2) 복소쌍곡선함수
10.7 복소거듭제곱
■연습문제
CHAPTER 11 복소적분법
11.1 복소평면에서의 선적분
11.2 Cauchy 적분정리
(1) 단순폐곡선(Simple Closed Path)
(2) 단순연결영역(Simply Connected Domain)
(3) 경로의 독립성(Independence of Path)
(4) 경로변형(Deformation of Path)의 원리
11.3 Cauchy 적분공식
11.4 복소해석함수의 n차 도함수
11.5 복소함수의 Taylor 급수
11.6 Laurent 급수
11.7 특이점과 영점
11.8 유수정리와 응용
(1) 유수의 정의
(2) 유수의 계산
(3) Cauchy의 유수정리
■연습문제

부록
미분공식
적분공식
Greece 문자표
벡터연산
SI 단위계와 접두사
연습문제 해답

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