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PLOBLEMS FROM THE BOOK(한국어판)

PLOBLEMS FROM THE BOOK(한국어판)

  • TITUANDRESCU ,GABRIELDOSPINESCU
  • |
  • 씨실과날실
  • |
  • 2010-11-25 출간
  • |
  • 585페이지
  • |
  • 188 X 254 X 35 mm
  • |
  • ISBN 9788993456660
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출판사서평




초급 수학에 관한 이 한 권의 책이 기존의 엄청난 양의 저널, 논문, 그리고 책들에 대해 무엇을 기여할 수 있겠는가하는 문제는 이 책을 집필하기로 결심했을 때, 우리의 중대한 관심사 였다. 우리가 쓰고 또 다시 고쳐쓰기까지의 5년의 세월이 지났음에도 새로운 문제, 우리가 적절하다고 생각했던 주석, 또는 그 분야의 전공자의 꼼꼼한 검토하에 그 문제를 첨가했어야 했음에도 불구하고, 이것을 예측한 시점전까지의 우리의 이론적 근거를 벗어났던 해답 등을 여전히 추가해야하는 것들 때문에 이 필연적인 수밖에 없는 질문에 대한 답을 하기가 용이하지 않았다.

이 책을 꼼꼼히 읽기만 해도 전국 또는 국제 수학올림피아드를 준비하는 학생들이나 선생님이 이 책의 대상임을 충분히 알게 될 것이다.
이런 사람들이 유일한 이 작업의 잠재적 수혜자들이 아니라는 것을 깨 위해서는 더 많은 노력들이 필요하다. 그것들은 많은 사람들이 “진정한 수학”이라 여겼던 경시대회 이상의 수학으로의 초대가 된다. 이런 맥락에서 생각하는 것보다 더 다양한 사람들이 이 책의 대상이 될 것이다.
쉽게 알 수 있겠지만, 이 책 속의 많은 문제들이 매우 어렵다. 그러므로 이론적인 부분들은 짧지만, 문제들에 대한 주안점은 정면으로 놓여 있다. 분명히 이차상호와 원시근의 존재성과 같은 좀 더 미묘한 결과들은 선형대수 또는 수학적 해석에서의 기본적인 결과들과 관련 있다. 그 증명들이 특별히 유용할 때는 언제든지 제공된다. 우리는 독자들이 초급수학의 전형적인 정리들에 대해 어느 정도 익숙하다는 것을 가정할 것이며, 우리는 그것을 자유자재로 사용할 것이다. 우리가 어려운 문제들 속에서 진정으로 아름다운 아이디어들을 발견하는 기쁨에 익숙하게 하는 반복된 연습에 대한 필요성이 문제의 선택을 숙고하게끔 했다. 우리는 우리가 보여주고 싶었던 최고의 아이디어들을 이용하는 간단하지만 어려운 문제들만 선택하려 노력하였다.
이제 이 책의 구조를 짧게 소개하려 한다. 차례만 훑어 보더라도 기하학과 관련된 장이 없다는 것에 독자들은 아마 놀라게 될 것이다. 이 책은 초급수학을 하나도 빠뜨림없이 다루려 하지 않았다. 그런 책을 본 적이 있었다면, 수학에서는 슬픈 날이 될 것이다. 오히려 우리는 문제를 풀이에서 뿐아니라 수학 전체에서 핵심이 되는 테크닉이나 아이디어들에 대한 의미를 부여하기 위해 우리를 매혹시키는 문제들을 모으기 위해 노력했다.
더욱이, 기하학에 관한 뛰어나 책들이 존재하므로, 새로운 것들을 창조하기 위해 우리가 연구했던 분야를 참가하는 것이 우리의 능력을 뛰어넘을 것이라는 점을 이해하는 것은 어렵지 않았다.

따라서, 우리는 대수, 수론과 조합론, 즉 초급수학에서의 세 가지 중요한 분야들에 더욱 정성을 들이려했다. 이렇게 한정된 초점에 맞추었음에도 불구하고 구할 수 있는 공간에 대한 것이거나 그 문제에 대한 훌륭한 문헌이 존재하기 때문에 배제시켜둔 많은 주제들이 있다. 예를 들어, 아주 어렵고 흥미진진한 문제들을 만들어 내지만, 모든 것이 함께 얽혀있으면서도 분명히 반복되는 부분들을 갖지 않는 함수반정식의 중대한 문제 등의 주제들이다.
앞에서 말한 목표들을 잊지 않은 많은 사람들의 전공이 될 지 모를 이런 생략된 내용 때문에 이 책이 버려지지 않기를 바랄 것이므로, 우리는 계속해서 각 장의 목차에 정성을 들일 것이다. 우리는 사용되는 수학적 방법이 점점 어려워지는 순서대로 장을 배열하는 것으로 시작하였다. 따라서, 다수의 예제들과 그 응용문제들을 강조하는 대수에서의 전형적인 치환법으로 가볍게 시작한다. 이것들은 코시-슈바르츠 부등식과 그 응용과 같은 중요한 주제로 이어진다. 꽤 많은 장들은 라그랑지 보강공식에 대한 응용문제를 보여준다. 관심있는 독자는 이 장에서 진짜 진주를 찾을 것인데, 수학적 해석을 대수와 섞을 경우의 꽤 어려운 두 장들은 이 책의 맨 끝에 두었다. 그것들 중 하나는 어떻게 간단한 적분이 아주 어려운 부등식을 해결할 수 있는지를 보여주는 상당히 독창적인 내용이다. 나머지 것은 균등분포나 조밀한 수치적 급수에 대한 성질들을 논한다. 아주 많은 책들이 Weyl균등분포 정리를 포함시키기엔 “너무 어렵다”고 여기므로, 쉽고 간단한 증명을 보여주어 그것들을 부정하고 싶어 참을 수 없었다. 더욱이, 독자는 초급문제들에 대해 수학적 해석이나 고급 대수를 이용하는 소위 기본적이지 않은 해법들을 보여주는 것을 피하고 있지 않다는 것을 금방 알 수 있을 것이다. 두 가지 타입의 수학을 서로 다른 두 독립체로 여기는 것은 죄악이 될 것이므로, 개념적이고 간단한 기본적이지 않은 해법을 갖는 문제들에 대한 일반화의 가능성을 생각하지 않고 힘든 기본해법들을 보여주는 것은 훨씬 더 좋지 않다. 끝으로 우리는 다항식의 기약성에 대한 판정법을 논의하기 위해 한 개의 장 전체를 쏟아 부었다. 우리는 잘 알려져 있는 Eisenstein 판정법보다 훨씬 더 효과적임에도 불구하고, (Peron과 Capelli의 판정법과 같이) 아주 효과적인 판정법이 거의 알려져 있지 않다는 것을 알 수 있을 것이다.
정수론에 관련된 섹션은 가장 많다. 4k+3의 꼴의 소수와 원소의 위수에 관련된 처음 몇 개의 장에서는 이 책에서 후반부에 사용되는 기본적인 결과들에 대한 이해를 돕기 위한 내용들이 포함되어 있다. 많은 장에서는 간단하면서도 유용하게 사용되는 도구(예를 들어, 정수의 소인수분해에서 소수의 지수)를 발전을 시킨다. 수학의 다이어몬드에는(Paul Erdos와 안에 나타난 다른 사람들이 속해 있다. 그리고 비록 이차 상호는 많은 책에서 소개되어 있지만, 이 토픽의 문제들은 교묘하기 때문에 제외시킬 것이 없기 때문에 이 토픽을 하나의 장으로 만들었다. 다음에 나오는 어려운 장들은 걱정스러운 다항식에서의 산술의 성질, (유명한 Minkowski의 정리에 대한 몇 가지 산술적 응용을 보여주는) 수와 기하, 대수적 수의 성질이 있다. 특별한 장은 정수의 수렴하는 수열은 언젠가는 증감하지 않는다는 극히 간단한 아이디어의 몇 가지 응용을 공부한다. 독자들은 수학에서 비록 간단하지만 큰 충격을 받는 실현할 수 있는 기회를 가진다. 예를 들어, 구간 (-1,1)에는 오직 정수 0만 있다는 기본적인 아이디어를 생각하자. 그런데, 무리수와 연관된 많은 환상적인 결과들은 그것으로부터 간단하게 나온다. 또 다른 장에서는 자리수의 합에 대한 것을 다룬다. 이 주제는 항상 나오는 기대하지 않은 매혹적인 문제를 끌러내는데, 이것은 유일한 접근방법을 찾지 못한다.

마지막으로 조합 분야에 대해서 몇 마디 하겠다. 이 주제에 대한 우리의 설명은 사실상 우리의 의도였던, 대수적 관점을 보인다는 것을 독자들은 바로 알 수 있을 것이다. 우리는 조합론에서 복소수들에 대한 몇 가지 예상치 못했던 예제들을 이런 방법으로 나타내었으며, 따라서 장 전체가 유용한 일반급수들에만 몰두하고 있다. 다른 장은 집합 조합론에 대한 문제들을 풀 때 선형대수가 얼마나 유용한지를 보여준다. 물론, 우리는 Turan의 정리와 그래프 이론에 대한 응용문제들을 보여줄 때, 전통적으로 비둘기집의 원리를 빠뜨릴 수 없을 것이다. 이 주제는 다른 책에서도 만족스러운 방법은 아니나 광범위하게 다루고 있기 때문에 우리는 곤경에 빠졌다. 그러므로, 우리는 이 주제가 초급수학을 사랑하는 사람들이 아주 좋아하기 때문에, 덜 알려진 문제들을 보여주려 했다. 끝으로 우리는 Cominatorial Nullstellensatz를 강조하는 수론과 조합론에서 그리고 최근 Noga Alon에 의해 알려진 아주 유용한 정리에서 다항식에 대한 특별한 응용문제들에 관한 장을 포함 시켰다.

대개 중요한 이론적 결과들이 설명하고 그것들이 아주 심오하거나 어렵다면 증명을 보여줄 것이다.
이론부분 다음에는 수학경시대회나 Kvant, Komal과 American Mathematical Monthly와 같은 저널들 중에서 가장 좋은 예제들을 열 개에서 열 다섯 개를 보여준다. 나머지들은 새로운 문제들이거나 전형적인 결과들이다. 각 장은 이론적 결과들로부터 야기되는 대다수의 문제들의 시리즈로 끝낸다.
마지막으로 몇 개의 겁을 먹게 될 문제들로 변화를 주려 한다. 각 장의 마지막 문제는 그 풀이가 없다! 우리가 이렇게한 여러 가지 이유가 있다. 가장 먼저 고려해야하고 가장 실용적인 문제는 이 책의 양을 최소화하는 것이다. 그러나 두 번째로 더 중요한 사실은 이것이었다: 우리는 문제해결에는 꼭 불가피한 장황한 시도와 그 해답엔 아마도 솔깃한 지름길을 보여주는 연구과정을 포함해야 한다고 생각한다. 이 점을 잊지 않고, 문제 선별에 있어 성실한 독자가 약 3분의 1은 풀릴 것이고, 3분의 2들은 진전을 거두면서 적어도 나머지 풀이 과정을 찾는 만족감을 갖는 것을 목표로 두었다.


목차


제 1 장 몇 가지 유용한 치환
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 2 장 언제나 Cauchy-Schwarz(코시-슈바르츠)...
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 3 장 지수를 봐라
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 4 장 소수와 제곱수
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 5 장 T2 도움정리
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 6 장 극단적인 그래프 이론에서의 몇 가지 전형적인 문제들
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 7 장 복소 조합론
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 8 장 다시보는 일반급수
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 9 장 대수적 수론에 대한 간단한 소개
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 10 장 다항식의 산술적 성질들
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 11 장 라그랑지 보간공간
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 12 장 조합론에서의 고난도 대수
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 13 장 기하와 수
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 14 장 더 작게, 더 좋게
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 15 장 밀도와 정규 분포
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 16 장 양의 정수의 자리수의 합
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 17 장 해석학과 수론의 경계에서
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 18 장 이차 상호법칙
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 19 장 적분을 이용한 기초부등식 풀이
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 20 장 다시보는 비둘기집의 원리
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 21 장 몇 가지 유용한 비정제성 규칙
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 22 장 싸이클, 경로, 그리고 다른 통로들
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

제 23 장 다항식의 몇가지 특별한 응용
제 1 절 이론과 예제
제 2 절 연습문제

참고문헌

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